بسم الله الرحمن الرحيم
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
رمضان كريم
05/04/2022
محاضرة رقم 829/2022 – نظرية بايز
استخدام الاحتمال الشرطي لحساب احتمالية التقاطع [2]

دكتور الدرديري فضل إبراهيم فضل

الاحتمال الشرطي لحدث ما هو احتمال وقوع حدث ‘A’ , ووقوع الحدث الآخر ‘B’ بالفعل. يتم حساب هذا النوع من الاحتمالات من خلال حصر فضاء العينة {Sample Space {S التي نعمل معها على المجموعة ‘B’ فقط.
يمكن إعادة كتابة صيغة الاحتمال الشرطي باستخدام بعض الجبر الأساسي. بدلاً من الصيغة:
P(A | B) = P(A ∩ B) /P( B )
نضرب كلا الجانبين في P (B) ونحصل على الصيغة المكافئة:
P(A | B) x P( B) = P(A ∩ B).
يمكننا بعد ذلك استخدام هذه الصيغة لإيجاد احتمال وقوع حدثين باستخدام الاحتمال الشرطي.
استخدام الصيغة:
يكون هذا الإصدار من الصيغة أكثر فائدة عندما نعرف الاحتمال الشرطي لـ A معطى B وكذلك احتمالية الحدث B. إذا كانت هذه هي الحالة ، فيمكننا حساب احتمال تقاطع A معطى B ببساطة عن طريق الضرب اثنين من الاحتمالات الأخرى. إن احتمال تقاطع حدثين هو رقم مهم لأنه احتمال وقوع كلا الحدثين.
أمثلة
في مثالنا الأول ، افترض أننا نعرف القيم التالية للاحتمالات:
P (A | B) = 0.8
P (B) = 0.5
الاحتمال
P (A ∩ B) = 0.8 x 0.5 = 0.4
بينما يوضح المثال أعلاه كيفية عمل الصيغة ، فقد لا يكون الأكثر توضيحًا لمدى فائدة الصيغة أعلاه. لذلك سننظر في مثال آخر. توجد مدرسة ثانوية بها 400 طالب ، منهم 120 ذكور و 280 إناث. 60٪ من الذكور ملتحقون حاليا بدورة الرياضيات. 80٪ من الإناث مسجلات حاليا في بدورة الرياضيات. ما هو احتمال أن تكون الطالبة التي تم اختيارها عشوائيًا هي أنثى مسجلة في مادة الرياضيات؟
هنا ندع F تشير إلى الحدث ‘الطالب المختار أنثى’ و M تشير إلى الحدث ‘الطالب المختار مسجل في دورة الرياضيات.’ نحتاج إلى تحديد احتمال تقاطع هذين الحدثين ، أو, P(M ∩ F).
توضح لنا الصيغة أعلاه ذلك
P(M ∩ F) = P( M|F ) x P( F ).
احتمال أن يتم اختيار أنثى هو
P( F ) = 280/400 = 70%.
الاحتمال الشرطي بأن الطالب الذي تم اختياره قد التحق بدورة الرياضيات ، بالنظر إلى أنه تم اختيار أنثى هو
P( M|F ) = 80%.
نضرب هذه الاحتمالات معًا ونرى أن لدينا
80% x 70% = 56%
احتمال اختيار طالبة مسجلة في مادة الرياضيات.
اختبار الاستقلال:
تعطينا الصيغة أعلاه المتعلقة بالاحتمال الشرطي واحتمال التقاطع طريقة سهلة لمعرفة ما إذا كنا نتعامل مع حدثين مستقلين.
نظرًا لأن الحدثين A و B مستقلان إذا كان
P (A | B) = P (A)
فإنه يتبع من الصيغة أعلاه أن الحدثين A و B مستقلان إذا وفقط إذا:
P( A ) x P( B ) = P(A ∩ B)
لذلك إذا علمنا أن
P (A) = 0.5
P (B) = 0.6
P (A ∩ B) = 0.2
دون معرفة أي شيء آخر يمكننا تحديد أن هذه الأحداث ليست مستقلة.
نعلم هذا لأن
P (A) x P (B) = 0.5 x 0.6 = 0.3
ليس هذا هو احتمال تقاطع A و B.

الدرديري